Nice music, and brilliant lyrics

“Finite Simple Group (of order 2)”

(The Klein Four)

The path of love is never smooth
But mine’s continuous for you
You’re the upper bound in the chains of my heart
You’re my Axiom of Choice, you know it’s true

But lately our relation’s not so well-defined
And I just can’t function without you
I’ll prove my proposition and I’m sure you’ll find
We’re a finite simple group of order 2

I’m losing my identity
I’m getting tensor every day
And without loss of generality
I will assume that you feel the same way

Since every time I see you, you just quotient out
The faithful image that I map into
But when we’re one-to-one you’ll see what I’m about
‘Cause we’re a finite simple group of order 2

Our equivalence was stable,
A principal love bundle sitting deep inside
But then you drove a wedge between our two-forms
Now everything is so complexified

When we first met, we simply connected
My heart was open but too dense
Our system was already directed
To have a finite limit, in some sense

I’m living in the kernel of a rank-one map
From my domain, its image looks so blue,
‘Cause all I see are zeroes, it’s a cruel trap
But we’re a finite simple group of order two

I’m not the smoothest operator in my class,
But we’re a mirror pair, me and you,
So let’s apply forgetful functors to the past
And be a finite simple group, be a finite simple group,
Let’s be a finite simple group of order 2
(“Why not 3?”)

I’ve proved my proposition now, as you can see,
So let’s both be associative and free
And by corollary, this shows you and I to be
Purely inseparable. Q. E. D.

그러나 이 문제도, 작도 문제와 같이 군론(group theory)과 환론(ring theory)으로 접근하여 증명이 되었던 것이다. 근의 공식이란 사칙연산과 제곱근을 이용한 표현이다. 제곱근을 취함으로써 숫자의 세계는 일반적으로 넓어지는데 (예를 들어 유리수에서 무리수로의 확장), 근의 공식을 만들어가는 과정 자체가 이러한 수 집합의 확장과 같은 것이다. 그리고 이와 비슷하게 다항식의 근을 구한다는 것 역시 숫자들의 집합을 확장하는 것과 같다. 그러므로 제곱근을 이용하여 확장된 집합과 다항식의 근을 이용하여 확장된 집합들의 특징을 잘 관찰하면 결국 5차 이상의 다항식의 근들을 구하기 위한 근의 공식은 만들 수 없음을 증명할 수 있다.

이상과 같은 내용들로 구성된 이론이 ‘갈로와 이론’(Galois Theory)이다. 눈부시게 아름다운 수학 이론 중 하나다.